Даны основные формулы кинематики материальной точки, их вывод и изложение теории.
СодержаниеСм. также: Пример решения задачи (координатный способ задания движения точки)
Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.
Радиус-вектор материальной точки M
в прямоугольной системе координат Oxyz
:
,
где - единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z
.
Скорость точки:
;
.
.
Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:
.
Ускорение точки:
;
;
;
;
;
Тангенциальное (касательное) ускорение:
;
;
.
Нормальное ускорение:
;
;
.
Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
.
Рассмотрим движение материальной точки M . Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z) . Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.
Радиус-вектор точки M
- это вектор ,
проведенный из начала неподвижной системы координат O
в точку M
.
,
где - единичные векторы в направлении осей x, y, z
.
При движении точки, координаты изменяются со временем .
То есть они являются функциями от времени .
Тогда систему уравнений
(1)
можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.
Траектория материальной точки - это линия, вдоль которой происходит движение точки.
Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости. Тогда траектория определяется двумя уравнениями
В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время .
Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:
,
где - некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .
Согласно определению скорости и определению производной:
Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
,
где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:
,
где
,
,
- проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
.
Таким образом
.
Модуль скорости:
.
С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время ,
при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
.
Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории
.
Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени - в положении с радиус-вектором .
Через точки и проведем прямую .
По определению, касательная - это такая прямая ,
к которой стремится прямая при .
Введем обозначения:
;
;
.
Тогда вектор направлен вдоль прямой .
При стремлении ,
прямая стремится к касательной ,
а вектор - к скорости точки в момент времени :
.
Поскольку вектор направлен вдоль прямой ,
а прямая при ,
то вектор скорости направлен вдоль касательной .
То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.
Введем направляющий вектор касательной единичной длины
:
.
Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
,
то:
.
Тогда вектор скорости точки можно представить в виде:
.
Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
;
;
;
.
Модуль ускорения:
.
Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
.
Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
.
Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?
Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
.
Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают скалярное произведение векторов. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
;
;
.
Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.
Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
.
Вторую компоненту называют нормальным ускорением:
.
Тогда полное ускорение:
(2)
.
Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты - касательную к траектории и перпендикулярную к касательной.
Поскольку ,
то
(3)
.
Умножим обе части уравнения (2)
скалярно на :
.
Поскольку ,
то .
Тогда
;
.
Здесь мы положили:
.
Отсюда видно, что тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на направление касательной к траектории или, что тоже самое, на направление скорости точки.
Тангенциальное (касательное) ускорение материальной точки - это проекция ее полного ускорения на направление касательной к траектории (или на направление скорости).
Символом мы обозначаем вектор тангенциального ускорения, направленный вдоль касательной к траектории. Тогда - это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление касательной. Она может быть как положительной, так и отрицательной.
Подставив ,
имеем:
.
Подставим в формулу:
.
Тогда:
.
То есть тангенциальное ускорение равно производной по времени от модуля скорости точки. Таким образом, тангенциальное ускорение приводит к изменению абсолютной величины скорости точки
. При увеличении скорости, тангенциальное ускорение положительно (или направлено вдоль скорости). При уменьшении скорости, тангенциальное ускорение отрицательно (или направлено противоположно скорости).
Теперь исследуем вектор .
Рассмотрим единичный вектор касательной к траектории .
Поместим его начало в начало системы координат. Тогда конец вектора будет находиться на сфере единичного радиуса. При движении материальной точки, конец вектора будет перемещаться по этой сфере. То есть он будет вращаться вокруг своего начала. Пусть - мгновенная угловая скорость вращения вектора в момент времени .
Тогда его производная - это скорость движения конца вектора. Она направлена перпендикулярно вектору .
Применим формулу для вращающегося движения. Модуль вектора:
.
Теперь рассмотрим положение точки для двух близких моментов времени. Пусть в момент времени точка находится в положении ,
а в момент времени - в положении .
Пусть и - единичные векторы, направленные по касательной к траектории в этих точках. Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и .
Пусть - это прямая, образованная пересечением этих плоскостей. Из точки опустим перпендикуляр на прямую .
Если положения точек и достаточно близки, то движение точки можно рассматривать как вращение по окружности радиуса вокруг оси ,
которая будет мгновенной осью вращения материальной точки. Поскольку векторы и перпендикулярны плоскостям и ,
то угол между этими плоскостями равен углу между векторами и .
Тогда мгновенная скорость вращения точки вокруг оси равна мгновенной скорости вращения вектора :
.
Здесь - расстояние между точками и .
Таким образом мы нашли модуль производной по времени вектора :
.
Как мы указали ранее, вектор перпендикулярен вектору .
Из приведенных рассуждений видно, что он направлен в сторону мгновенного центра кривизны траектории. Такое направление называется главной нормалью.
Нормальное ускорение
направлено вдоль вектора .
Как мы выяснили, этот вектор направлен перпендикулярно касательной, в сторону мгновенного центра кривизны траектории.
Пусть - единичный вектор, направленный от материальной точки к мгновенному центру кривизны траектории (вдоль главной нормали). Тогда
;
.
Поскольку оба вектора и имеют одинаковое направление - к центру кривизны траектории, то
.
Из формулы (2)
имеем:
(4)
.
Из формулы (3)
находим модуль нормального ускорения:
.
Умножим обе части уравнения (2)
скалярно на :
(2)
.
.
Поскольку ,
то .
Тогда
;
.
Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.
Нормальное ускорение материальной точки - это проекция ее полного ускорения на направление, перпендикулярное к касательной к траектории.
Подставим .
Тогда
.
То есть нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории
.
Отсюда можно найти радиус кривизны траектории:
.
И в заключении заметим, что формулу (4)
можно переписать в следующем виде:
.
Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
,
в которую подставили
.
Итак, мы получили:
;
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
.
Тогда
.
Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.
Все тела, которые окружают нас, находятся в постоянном движении. Перемещение в пространстве тел наблюдается на всех масштабных уровнях, начиная с движения элементарных частиц в атомах вещества и заканчивая ускоренным движением галактик во Вселенной. В любом случае процесс движения происходит с ускорением. В данной статье рассмотрим подробно понятие касательного ускорения и приведем формулу, по которой его можно рассчитать.
Прежде чем вести разговор о касательном ускорении, рассмотрим, какими величинами принято характеризовать произвольное механическое перемещение тел в пространстве.
В первую очередь — это путь L. Он показывает, какое расстояние в метрах, сантиметрах, километрах и так далее прошло тело за некоторый промежуток времени.
Вторая важная характеристика в кинематике — это скорость тела. В отличие от пути, она является величиной векторной и направлена вдоль траектории движения тела. Скорость определяет быстроту изменения пространственных координат во времени. Формула для ее вычисления имеет вид:
Скорость - это по времени производная пути.
Наконец, третьей важной характеристикой движения тел является ускорение. Согласно определению в физике, ускорение — это величина, которая определяет изменение скорости от времени. Формулу для него можно записать в виде:
Ускорение, как и скорость, тоже является величиной векторной, однако в отличие от нее оно направлено в сторону изменения скорости. Направление ускорения также совпадает с вектором результирующей силы, оказывающей действие на тело.
Многие задачи в физике рассматривают в рамках прямолинейного движения. В этом случае, как правило, не говорят о касательном ускорении точки, а работают с линейным ускорением. Однако если перемещение тела не является линейным, то полное его ускорение может быть разложено на две составляющие:
В случае линейного движения нормальная составляющая равна нулю, поэтому о векторном разложении ускорения не говорят.
Таким образом, траектория движения во многом определяет характер и составные части полного ускорения. Под траекторией движения понимают воображаемую линию в пространстве, вдоль которой тело перемещается. Любая криволинейная траектория приводит к появлению ненулевых компонент ускорения, отмеченных выше.
Тангенциальное или, как его еще называют, касательное ускорение — это компонента полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения. Поскольку вдоль траектории направлена также скорость, то вектор тангенциального ускорения совпадает с вектором скорости.
Выше было дано понятие ускорения как меры изменения скорости. Поскольку скорость - это вектор, то изменить ее можно либо по модулю, либо по направлению. Касательное ускорение определяет только изменение модуля скорости.
Заметим, что в случае прямолинейного движения вектор скорости своего направления не меняет, поэтому, в соответствии с приведенным определением, тангенциальное ускорение и линейное ускорение - это одна и та же величина.
Предположим, что тело движется по некоторой кривой траектории. Тогда его скорость v¯ в выбранной точке можно представить в следующем виде:
Здесь v — модуль вектора v¯, u t ¯ — единичный вектор скорости, направленный по касательной к траектории.
Используя математическое определение ускорения, получаем:
a¯ = dv¯/dt = d(v*u t ¯)/dt = dv/dt*u t ¯ + v*d(u t ¯)/dt
При нахождении производной здесь использовалось свойство произведения двух функций. Мы видим, что полное ускорение a¯ в рассматриваемой точке соответствует сумме двух слагаемых. Они являются касательным и нормальным ускорением точки соответственно.
Скажем пару слов о Оно ответственно за изменение вектора скорости, то есть за изменение направления движения тела вдоль кривой. Если явно вычислить значение второго слагаемого, то получится формула для нормального ускорения:
a n = v*d(u t ¯)/dt = v 2 /r
Нормальное ускорение направлено вдоль нормали, восстановленной в данную точку кривой. В случае движения по окружности нормальное ускорение является центростремительным.
Уравнение касательного ускорения a t ¯ имеет вид:
Это выражение говорит о том, что тангенциальное ускорение соответствует изменению не направления, а модуля скорости v¯ за момент времени. Поскольку тангенциальное ускорение направлено по касательной к рассматриваемой точки траектории, то оно всегда перпендикулярно нормальной компоненте.
Выше была представлена вся информация, которая позволяет вычислить через касательное и нормальное. Действительно, так как обе компоненты являются взаимно перпендикулярными, то их вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является вектор полного ускорения. Этот факт позволяет записать формулу для модуля полного ускорения в следующем виде:
a = √(a n 2 + a t 2)
Угол θ между полным ускорением и тангенциальным можно определить так:
Чем больше тангенциальное ускорение, тем ближе оказываются направления касательного и полного ускорения.
Типичной криволинейной траекторией, по которой движутся тела в технике и природе, является окружность. Действительно, перемещение шестерен, лопастей и планет вокруг собственной оси или вокруг своих светил происходит именно по окружности. Движение, соответствующее этой траектории, называется вращением.
Кинематика вращения характеризуется теми же величинами, что кинематика движения по прямой, однако, они имеют угловой характер. Так, для описания вращения используют центральный угол поворота θ, угловые скорость ω и ускорение α. Для этих величин справедливы следующие формулы:
Предположим, что тело совершило один оборот вокруг оси вращения за время t, тогда для скорости угловой можно записать:
Линейная скорость в этом случае будет равна:
Где r - радиус траектории. Последние два выражения позволяют записать формулу связи двух скоростей:
Теперь вычислим производную по времени от левой и правой частей равенства, получим:
В правой части равенства стоит произведение на радиус окружности. Левая же часть равенства - это изменение модуля скорости, то есть касательное ускорение.
Таким образом, тангенциальное ускорение и аналогичная угловая величина связаны равенством:
Если предположить, что вращается диск, то тангенциальное ускорение точки при постоянной величине α будет возрастать линейно с увеличением расстояния от этой точки до оси вращения r.
Известно, что скорость тела, которое перемещается по некоторой кривой траектории, описывается следующей функцией от времени:
Необходимо определить формулу касательного ускорения и найти его значение в момент времени t = 5 секунд.
Сначала запишем формулу для модуля тангенциального ускорения:
То есть для вычисления функции a t (t) следует определить производную скорости по времени. Имеем:
a t = d(2*t 2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3
Подставляя в полученное выражение время t = 5 секунд, приходим к ответу: a t = 23 м/с 2 .
Заметим, что графиком скорости от времени в данной задаче является парабола, график же тангенциального ускорения - это прямая линия.
Известно, что материальная точка начала равноускоренное вращение с нулевого момента времени. Через 10 секунд после начала вращения ее центростремительное ускорение стало равным 20 м/с 2 . Необходимо определить касательное ускорение точки через 10 секунд, если известно, что радиус вращения равен 1 метр.
Сначала запишем формулу для центростремительного или нормального ускорения a c:
Пользуясь формулой связи между линейной и угловой скоростью, получим:
При равноускоренном движении скорость с угловым ускорением связаны формулой:
Подставляя ω в равенство для a c , получим:
Линейное ускорение через тангенциальное выражается так:
Подставляем последнее равенство в предпоследнее, получаем:
a c = a t 2 /r 2 *t 2 *r = a t 2 /r*t 2 =>
a t = √(a c *r)/t
Последняя формула с учетом данных из условия задачи приводит к ответу: a t = 0,447 м/с 2 .
Скорость. Путь.
Пусть материальная точка совершает движение в выбранной СО. Вектор, проведённый из начального положения точки в конечное называется перемещением
(). Тогда векторная величина называется средней скоростью перемещения
. Длина участка траектории, пройденного точкой за промежуток , называется путём
S (). Средняя скорость характеризует быстроту и направление движения частиц. Среднюю быстроту движения тела по траектории характеризует средняя путевая скорость
. Как быстро и в каком направлении движется тело в данный момент t характеризует мгновенная скорость
. Мгновенная путевая скорость
. При Модуль мгновенной скорости равен мгновенной путевой скорости Мгновенная скорость всегда направленна по касательной к траектории. Для бесконечно малого перемещения . Для небольших промежутков выполняется приближённо.
Скорость – векторная величина, значит, её можно записать в виде 
. С другой стороны . Следовательно, проекция скорости … Величина (модуль) скорости .
Выражение для скорости в полярных координатах (): , . Направление задаётся углом или единичным вектором . Радиус-вектор точки , 
, – единичный вектор, перпендикулярный . 
.
Пройденный путь частицы от до .
Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.
При движении материальной точки её скорость меняется как по величине, так и по направлению. Как быстро это происходит в произвольный момент времени, характеризует векторная величина ускорение
. . Проекция вектора ускорения 
…
Рассмотрим движение частицы, совершаемое в плоскости. Скорость направлена по касательной траектории, поэтому можно записать . Здесь единичный вектор задаёт направление касательной, .
Ускорение , направленное по касательной к траектории, определяемое скоростью изменение величины скорости, или модуля, называется тангенциальным ускорением .
– нормальное ускорение (характеризует быстроту изменения направления скорости), - единичный вектор, перпендикулярный и направленный внутрь кривой, R – радиус кривизны линии.
Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея.
3-ий закон Ньютона: силы, с которыми 2 тела действуют друг на друга, равны по величине, противоположны по направлению, лежат на одной прямой, проходящей через тела и имеют одинаковую физическую природу.
Три закона Ньютона позволяют решить основную задачу динамики: по заданным силам, начальному положению и начальным скоростям тел можно определить дальнейшее движение механической системы. 1-ый закон даёт критерий отыскания ИСО; 2-ой закон даёт динамическое уравнение движения; 3-ий закон позволяет ввести в рассмотрение все силы, действующие в системе. При переходе одной ИСО в другую ИСО скорости преобразовываются по закону , а ускорение - , т.е. ускорение тел не меняется, также как и силы, следовательно, остаётся неизменным уравнение 2-ого закона. Следовательно, при одинаковых начальных условиях (координаты и скорости) мы получим в обоих случаях одинаковое решение. Значит, ИСО – эквивалентны.
Принцип относительности Галилея: все механические явления в различных ИСО протекают одинаковым образом при одинаковых начальных условиях, вследствие чего нельзя выделить какую-либо ИСО как абсолютно покоящуюся.
Закон сохранения импульса.
В механике существуют 3 фундаментальные закона сохранения
(-это некоторая функция координат скоростей частиц и времени, которая остаётся постоянной при движении). Законы сохранения позволяют решать задачи, используя уравнения дифференциалов 1-ого порядка. Векторная величина называется импульсом
материальной точки (импульс – количество движения). Из 2-ого закона Ньютона следует, что скорость изменения импульса механической системы равна сумме внешних сил, действующих на систему . N – количество материальных точек. Система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой
, или изолированной. Для замкнутой системы правая часть уравнения равна 0. Значит, 
. Получаем закон сохранения импульса:
импульс замкнутой системы сохраняется (не меняется) со временем .
Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства. Замечания: 1) Импульс незамкнутой системы будет сохранятся, если внешние силы компенсируют друг друга, и их результирующая = 0; 2) если результирующая внешних сил , но = 0 её проекция на некоторое направление (пр. ОХ), то проекция импульса на это направление будет сохранятся ; 3)если внешние силы присутствуют, но рассматривается кратковременных процесс (удар, взрыв), то действующими внешними силами можно пренебречь и использовать закон сохранения импульса , , т.к. dt мало, то импульс внешних сил мал, и им можно пренебречь .
Пусть задана система материальных точек, массами , радиус-векторы которых относительно некоторого начала О . Точка С, радиус-вектор которой определяется выражением , называется центром масс
, или центром инерции системы. Её положение относительно тел, не зависит от выбора О. Скорость центра масс
. ИСО, связанную с центром масс, называют системой центра масс
.
Консервативные силы.
Взаимодействие между телами, находящимися на некотором расстоянии друг от друга, осуществляется посредством силовых полей, создаваемых во всём окружающем пространстве. Если поле не меняется, то такое поле называется стационарным . Пусть существует точка О (центр силового поля), такая что в любой точке пространства сила, действующая на частицу, лежит на прямой, проходящей через данную точку пространства и силовой центр. Если модуль сил зависит только от расстояния между этими точками, то мы имеем центральное силовое поле (пр. кулоновское поле). Если во всех точках пространства сила одинакова по величине и направлению, то говорят об однородном силовом поле . Если работа, совершаемая над частицей силами стационарного поля, не зависит от выбора траектории движения, определяется только начальным и конечным положениями тел, то такое поле называют консервативным .
1) поле силы тяжести называют стационарным однородным. . Значит, поле силы тяжести – консервативное.
2) поле силы упругости. . Значит, поле силы упругости – консервативное.
3) Покажем, что любое центральное силовое поле является консервативным. 
, . . Здесь работа определяется начальным и конечным положением точек, а не видом траектории. Следовательно, центральное силовое поле является консервативным. Центральными силами являются:
1) кулоновская сила взаимодействия , 
.
2) гравитационная сила взаимодействия , 
.
Эквивалентным определением консервативных сил является: сила называется консервативной , если её работа на произвольной замкнутой траектории = 0.
Задача 2-ух тел.
Задача 2-ух тел по движению изолированной системы 2-ух материальных точек, взаимодействующих друг с другом. В силу изолированности системы её импульс сохраняется, а центр масс движется с постоянной скорость, относительно системы отсчёта К’. Это позволяет перейти в систему центра масс (она будет инерциальная, как и К’). – радиус-вектор относительно . - радиус-векторы и относительно С. Составляем систему: 
. Решая систему, получаем: , . Движение тел определяется силами , . Учли 3-ий закон Ньютона и изотропность пространства
(если поворот СО на произвольный угол не приведёт к изменению результатов измерений). Получаем уравнения: 
, 
. Решаем, в результате получаем: 
.
Центр масс твёрдого тела движется таким же образом, как двигалась бы материальная точка массы m под действием всех внешних сил, действующих на твёрдое тело.
Гироскопы.
Гироскоп (или волчок) – массивное твёрдое тело, симметричное некоторой оси, совершающее вращения вокруг неё с большой угловой скоростью. В силу симметрии гироскопа выполняется . При попытке повернуть вращающийся гироскоп вокруг некоторой оси наблюдается гироскопический эффект – под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг прямой О’O’, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О’’О’’ (ось ОО и прямая О’O’ предполагаются лежащими в плоскости чертежа, а прямая О’’О’’ и силы f1 и f2 – перпендикулярными к этой плоскости). Объяснение эффекта основано на использование уравнения момента . Момент импульса поворачивается вокруг оси ОХ в силу соотношения . Вместе с вокруг ОХ поворачивается и гироскоп. Вследствие гироскопического эффекта на подшипнике, на котором вращается гироскоп, начинают действовать гироскопические силы . Под действием гироскопических сил ось гироскопа стремиться занять положение, параллельное угловой скорости вращения Земли.
Описанное поведение гироскопа положено в основу гироскопического компаса . Преимущества гироскопа: указывает точное направление на географический северный полюс, его работа не подвержена воздействию металлических предметов.
Прецессия гироскопа
– особый вид движения гироскопа имеет место в том случае, если момент действующих на гироскоп внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Рассмотрим движение гироскопа с одной закреплённой точкой на оси под действием силы тяжести , – расстояние от закреплённой точки до центра инерции гироскопа, – угол между гироскопом и вертикалью. направлен момент перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа. Уравнение движения: приращение импульса = Следовательно, изменяет своё положение в пространстве таким образом, что его конец описывает окружность в горизонтальной плоскости. За промежуток времени гироскоп повернулся на угол ось гироскопа описывает конус вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 
– угловая скорость прецессии.
Гармонические колебания.
Колебания
– процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости по времени. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и другие. Все эти процессы, несмотря на различную физическую природу, описываются одинаковыми математическими уравнениями и имеют ряд общих свойств. Рассмотрим небольшой шарик массы m, подвешенный на лёгкой упругой пружине жёсткости k. В положении равновесия (х=0) сумма сил, действующих на шар, равна 0, т.е. . При отклонении шарика от положения равновесия его движение будет описываться уравнением: . Уравнение запишем в следующем виде: . Положение тела описывается через функцию косинуса (или синуса), которая называется гармонической, поэтому такие колебания называются гармоническими.
– амплитуда колебаний
– даёт максимальное отклонение от положения равновесия. – фаза колебания – определяется смещением тела в данный момент времени. – начальная фаза
. Функция косинуса имеет период . Значит, состояние колеблющегося тела повторяется при изменении фазы на . Промежуток времени, в течение которого фаза изменяется на , называется периодом колебаний
. Период
– время, за которое совершается одно полное колебание . Частота колебаний
– количество колебаний за единицу времени , 
. 
– круговая (циклическая) частота
, т.е. количество колебаний за секунд. Зная начальное положение и скорость тела, можно определить амплитуду и начальную фазу: .Движение тела при гармоническом колебании происходит под действием квазиупругой силы
: , которая является консервативной, а, значит, выполняется закон сохранения энергии , . Среднее значение кинетической и потенциальной энергий
по времени: 
.
Затухающие колебания.
В реальных физических системах всегда действуют силы сопротивления, в результате действия которых амплитуда колебаний с течением времени убывает. рассмотрим движение тела в вязкой среде, когда силы сопротивления противоположны скорости движения тела: , – коэффициент сопротивления. . Подставим вместо – дифференциальное уравнение 2-ого порядка сводится к квадратному алгебраическому уравнению . Колебательный процесс возможен, если силы сопротивления достаточно малы. Это означает, что должно выполняться условие . В этом случае . Следовательно, общим решением нашего уравнения будет функция – кинематический закон затухающих колебаний. Можно сказать, что наблюдаются гармонические колебания с частотой , амплитуда же колебаний убывает по экспоненциальному закону . Скорость затухания определяется величиной коэффициента затухания . Затухание характеризуется также декрементом затухания , который показывает во сколько раз уменьшилась амплитуда колебаний за время, равное периоду : . Логарифм этого выражения называют логарифмическим декрементом затухания : . В затухающих системах используется также такая величина как добротность : .
Волновое уравнение.
Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым . Исходя из физических свойств среды и основных законов механики мы получаем волновое уравнение из явного выражения для уравнения плоской волны.
Можно записать: – волновое уравнение . Волновому уравнению будет удовлетворять любая волна произвольной частоты , распространяющаяся со скоростью . определяется физическими свойствами среды. В случае плоской волны, распространяющейся в направлении по х, волновое уравнение записывается в виде: .
Энергия упругой волны.
Пусть плоская продольная волна распространяется в направлении ОХ в некоторой упругой среде. Её уравнение: . Частицы среды, отклоняясь от положения равновесия, движутся с некоторыми скоростями. Следовательно, они обладают кинетической и потенциальной энергиями. Выделим в среде цилиндрический объем V с площадью основания S и высотой x. Его величина такова, что можем считать скорости частиц
и относительное смещение
одинаковыми. Энергия,
заключённая в этом объёме . Таким образом, плотность энергии упругой волны
. Подставим в него уравнение плоской волны, преобразуем и воспользуемся тем, что : . Затем найдём среднюю по периоду плотность энергии
: . Из выражения для плотности энергии видно, что её величина меняется со временем от 0 до некоторого максимального значения, а значит, энергия от источников колебания переносится волной из одного места пространства в другое со скоростью Волна осуществляет процесс переноса энергии, но не вещества. Перенос энергии осуществляется посредством сил упругого взаимодействия между частицами среды. Количество энергии, переносимое через некоторую поверхность за единицу времени, называется потоком энергии
через эту поверхность: . Для более детальной характеристики процесса переноса энергии используется вектор плотности потока энергии
. По величине он равен потоку энергии, переносимой через площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, делённому на площадь этой площадки: 
– последнее – вектор Умова
. По направлению он совпадает с направлением распространения волны. Среднее
. Модуль этого выражения называется интенсивностью волны
.
Сложение скоростей в СТО.
В XIX веке классическая механика столкнулась с проблемой распространения этого правила сложения скоростей на оптические (электромагнитные) процессы. По существу произошёл конфликт между двумя идеями классической механики, перенесёнными в новую область электромагнитных процессов. Например, если рассмотреть пример с волнами на поверхности воды из предыдущего раздела и попробовать обобщить на электромагнитные волны, то получится противоречие с наблюдениями (см., например, опыт Майкельсона). Классическое правило сложения скоростей соответствует преобразованию координат от одной системы осей к другой системе, движущиеся относительно первой без ускорения. Если при таком преобразовании мы сохраняем понятие одновременности, то есть сможем считать одновременными два события не только при их регистрации в одной системе координат, но и во всякой другой инерциальной системе, то преобразования называются галилеевыми. Кроме того, при галилеевых преобразованиях пространственное расстояние между двумя точками - разница между их координатами в одной ИСО - всегда равно их расстоянию в другой инерциальной системе. Вторая идея - принцип относительности. Находясь на корабле, движущимся равномерно и прямолинейно, нельзя обнаружить его движение какими-то внутренними механическими эффектами. Распространяется ли этот принцип на оптические эффекты? Нельзя ли обнаружить абсолютное движение системы по вызванным этим движением оптическим или, что-то же самое электродинамическими эффектами? Интуиция (довольно явным образом связанная с классическим принципом относительности) говорит, что абсолютное движение нельзя обнаружить какими бы то ни было наблюдениями. Но если свет распространяется с определённой скоростью относительно каждой из движущихся инерциальных систем, то эта скорость изменится при переходе от одной системы к другой. Это вытекает из классического правила сложения скоростей. Говоря математическим языком, величина скорости света не будет инвариантна относительно галлилеевых преобразованиям. Это нарушает принцип относительности, вернее, не позволяет распространить принцип относительности на оптические процессы. Таким образом, электродинамика разрушила связь двух, казалось бы, очевидных положений классической физики - правила сложения скоростей и принципа относительности. Более того, эти два положения применительно к электродинамике оказались несовместимыми. Теория относительности даёт ответ на этот вопрос. Она расширяет понятие принципа относительности, распространяя его и на оптические процессы. Правило сложение скоростей при этом не отменяется совсем, а лишь уточняется для больших скоростей с помощью преобразования Лоренца.
Если некоторый объект имеет компоненты скорости относительно системы S и - относительно S", то между ними существует следующая связь:
В этих соотношениях относительна скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях () переходит в классический закон сложения скоростей.
Если объект движется со скоростью света вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S": . Это означает, что скорость является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.
Барометрическая формула.
Барометрическая формула даёт зависимость атмосферного давления от высоты, отсчитанной от поверхности Земли. Предполагается, что температура атмосферы с высотой не меняется. Для вывода формулы выделим вертикальный цилиндр: поперечное сечение S. В нём выделяется небольшой цилиндрический объём высотой dh. Он находится в равновесии: на него действуют сила тяжести mg, вертикально направленная вверх сила давления газа F1 и вертикально направленная вниз сила давления F2. Их сумма = 0. В проекции: -mg+ F1-. F2=0 . Из уравнения Клапейрона-Менделеева 
. Интегрируем в пределах от 0 до и получаем: – барометрическая формула
, используемая для определения высоты. Изменением в температуре можно пренебречь.
Давление газа на стенку.
Распределение Максвелла.
Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого акта столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.
В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на , , , причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Будем предполагать, что силовые поля на частицы не действуют. Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от υ до υ+Δυ. При этом мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной частицы υi, поскольку за столкновениями и движениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность.
Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-й составляющей скорости) имеем тогда 
где А1 – постоянная, равная
Графическое изображение функции показано на рисунке. Видно, что доля молекул со скоростью не равна нулю. При , (в этом физический смысл постоянной А1).
Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-компонентам скорости. Очевидно, что и по y- и z-компонентам скорости также можно получить: 
Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x-компонента скорости лежит в интервале от , до + ,; y-компонента, в интервале от до + ; z-компонента, в интервале от до +d будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности: 
где 
, или 
) – это число молекул в параллелепипеде со сторонами , , d , то есть в объёме dV= d , находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей. Эта величина () не может зависеть от направления вектора скорости . Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости. Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до υ+dυ по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной dυ и радиусом υ. Этот шаровой слой складывается из тех параллелепипедов, о которых 
говорилось выше.
Объём этого шарового слоя . Общее число молекул в слое: 
Отсюда следует закон распределения молекул по абсолютным значениям скоростей Максвелла
: 
где – доля всех частиц в шаровом слое объема dV, скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ. При dυ = 1 получаем плотность вероятности
, или функцию распределения молекул по скоростям
: 
Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость. Обозначим: 
и получим: 
График этой функции показан на рисунке. Это и есть распределение Максвелла
. Или по-другому
.
Энтропия.
Термодинамическая энтропия S, часто просто именуемая энтропия, в химии и термодинамике является функцией состояния термодинамической системы. Понятие энтропии было впервые введено Рудольфом Клаузиусом, который определил изменение энтропии термодинамической системы при обратимом процессе как отношение изменения общего количества тепла ΔQ к величине абсолютной температуры T (то есть изменение тепла при постоянной температуре): . Например, при температуре 0 °C, вода может находиться в жидком состоянии и при незначительном внешнем воздействии начинает быстро превращаться в лед, выделяя при этом некоторое количество теплоты. При этом температура вещества так и остается 0 °C. Изменяется состояние вещества, сопровождающееся изменением тепла, вследствие изменения структуры.
Эта формула применима только для изотермического процесса (происходящего при постоянной температуре). Её обобщение на случай произвольного квазистатического процесса выглядит так: ,где dS - приращение (дифференциал) энтропии, а δQ - бесконечно малое приращение количества теплоты. Необходимо обратить внимание на то, что рассматриваемое термодинамическое определение применимо только к квазистатическим процессам (состоящим из непрерывно следующих друг за другом состояний равновесия).
Энтропия – аддитивная величина, т.е. энтропия системы равна сумме энтропий отдельных её частей.
Больцман установил связь энтропии с вероятностью данного состояния
. Позднее эту связь представил в виде формулы Планк: 
, где константа k = 1,38×10−23 Дж/К названа Планком постоянной Больцмана, а Ω - (термодинамическая вероятность) статистический вес состояния, является числом возможных микросостояний (способов) с помощью которых можно перейти в данное макроскопическое состояние. Этот постулат, названный Альберт Эйнштейном принципом Больцмана, положил начало статистической механики, которая описывает термодинамические системы, используя статистическое поведение составляющих их компонентов. Принцип Больцмана связывает микроскопические свойства системы (Ω) с одним из её термодинамических свойств (S). Согласно определению, энтропия является функцией состояния, то есть не зависит от способа достижения этого состояния, а определяется параметрами этого состояния. Так как Ω может быть только натуральным числом (1, 2, 3, …), то энтропия Больцмана должна быть неотрицательной - исходя из свойств логарифма.
Энтропия в открытых системах:
В силу второго начала термодинамики, энтропия Si замкнутой системы не может уменьшаться (закон неубывания энтропии
). Математически это можно записать так: , индекс i обозначает так называемую внутреннюю энтропию, соответствующую замкнутой системе. В открытой системе возможны потоки тепла, как из системы, так и внутрь неё. В случае наличия потока тепла в систему приходит количество тепла δQ1 при температуре T1 и уходит количество тепла δQ2 при температуре T2. Приращение энтропии, связанное с данными тепловыми потоками, равно: 
В стационарных системах обычно δQ1 = δQ2, T1 > T2, так что dSo < 0. Поскольку здесь изменение энтропии отрицательно, то часто употребляют выражение «приток негэнтропии», вместо оттока энтропии из системы. Негэнтропия определяется таким образом как обратная величина энтропии.
Суммарное изменение энтропии открытой системы будет равно: dS = dSi + dSo.
Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.
Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).
> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
Рис. 1.8. Среднее ускорение.
В СИ единица ускорения
– это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть
Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.
Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:
При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть
V 2 > v 1
а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости
Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть
V 2 < v 1
то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.
При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.
Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
Координата (линейная, угловая).
2)Перемещение ( ) – вектор, соединяющий начальную точку траектории с конечной.
3) Путь () – расстояние пройденное телом от начальной точки до конечной.
4) Линейная скорость:
4.1) Мгновенная.
Скоростью (мгновенной скоростью) движения называется векторная величина, равная отношению малого перемещения к бесконечно малому промежутку времени, за которое это перемещение производится
В проекциях: U x =
4.2) Средняя
Средняя (путевая) скорость - это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден:
Путевая скорость:
Средняя путевая скорость, в отличие от мгновенной скорости не является векторной величиной.
Можно также ввести среднюю скорость по перемещению , которая будет вектором, равным отношению перемещения ко времени, за которое оно совершено:
Скорость перемещения:
Средняя скорость в общем виде:
5)Линейное ускорение:
5.1) Мгновенная
Мгновенным ускорением называется векторная величина, равная отношению малого изменения скорости к малому промежутку времени, за который происходило это изменение:
Ускорение характеризует быстроту вектора в данной точке пронстранства.
5.2) Средняя
Среднее ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
; 
Изменение скорости:
Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения.
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Направление вектора тангенциального ускорения τ) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
Вопрос 2. Описание движения материальной точки (частные случи: равномерное движение по окружности, прямолинейное равномерное движение, равнопеременное движение по окружности).
Равномерное движение по окружности.
Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения . Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость .
При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v (вэ) = const, а изменяется только направление вектора скорости . Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (a r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение а ЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.
Модуль центростремительного ускорения равен
a ЦС =v 2 / R
Где v – линейная скорость, R – радиус окружности
Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус. Угол поворота измеряется в радианах.
Угловая скорость
равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:
ω = φ / t
Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]
Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности.
v = = = Rω или v = Rω
Период обращения
– это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности. Частота обращения
– это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.
n = 1 / T
T = 2π / ω
То есть угловая скорость равна
ω = 2π / T = 2πn
Центростремительное ускорение
можно выразить через период Т и частоту обращения n:
a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
