Разделы: Информатика
1. Введение
В курсе Информатики и ИКТ основной и старшей школы рассматриваются такие важные темы как “Основы логики” и “Поиск информации в Интернет”. При решении определенного типа задач удобно использовать круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна).
Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна используются прежде всего в теории множеств как схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств. В общем случае они изображают все 2 n комбинаций n свойств. Например, при n=3 диаграмма Эйлера-Венна обычно изображается в виде трех кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.
2. Представление логических связок в поисковых запросах
При изучении темы “Поиск информации в Интернет” рассматриваются примеры поисковых запросов с использованием логических связок, аналогичным по смыслу союзам “и”, “или” русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью графической схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).
3. Связь логических операций с теорией множеств
С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно наглядно представить связь логических операций с теорией множеств. Для демонстрации можно воспользоваться слайдами в Приложение 1.
Логические операции задаются своими таблицами истинности. В Приложении 2 подробно рассматриваются графические иллюстрации логических операций вместе с их таблицами истинности. Поясним принцип построения диаграммы в общем случае. На диаграмме – область круга с именем А отображает истинность высказывания А (в теории множеств круг А – обозначение всех элементов, входящих в данное множество). Соответственно, область вне круга отображает значение “ложь” соответствующего высказывания. Что бы понять какая область диаграммы будет отображением логической операции нужно заштриховать только те области, в которых значения логической операции на наборах A и B равны “истина”.
Например, значение импликации равно “истина” в трех случаях (00, 01 и 11). Заштрихуем последовательно: 1) область вне двух пересекающихся кругов, которая соответствует значениям А=0, В=0; 2) область, относящуюся только к кругу В (полумесяц), которая соответствует значениям А=0, В=1; 3) область, относящуюся и к кругу А и к кругу В (пересечение) – соответствует значениям А=1, В=1. Объединение этих трех областей и будет графическим представлением логической операции импликации.
4. Использование кругов Эйлера при доказательстве логических равенств (законов)
Для того, чтобы доказать логические равенства можно применить метод диаграмм Эйлера-Венна. Докажем следующее равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон де Моргана).
Для наглядного представления левой части равенства выполним последовательно: заштрихуем оба круга (применим дизъюнкцию) серым цветом, затем для отображения инверсии заштрихуем область за пределами кругов черным цветом:
Рис.3 
Рис.4 
Для визуального представления правой части равенства выполним последовательно: заштрихуем область для отображения инверсии (¬А) серым цветом и аналогично область ¬В также серым цветом; затем для отображения конъюнкции нужно взять пересечение этих серых областей (результат наложения представлен черным цветом):
Рис.5 
Рис.6 
Рис.7 
Видим, что области для отображения левой и правой части равны. Что и требовалось доказать.
5. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ по теме: “Поиск информации в Интернет”
Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса указан его код – соответствующая буква от А до Г. Расположите коды запросов слева направо в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
| Код | Запрос |
| А | (Муха & Денежка) | Самовар |
| Б | Муха & Денежка & Базар & Самовар |
| В | Муха | Денежка | Самовар |
| Г | Муха & Денежка & Самовар |
Для каждого запроса построим диаграмму Эйлера-Венна:
| Запрос А | Запрос Б
|
Запрос В
|
Запрос Г
|
Ответ: ВАГБ.
Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
| Запрос | Найдено страниц (в тысяч) |
| Фрегат | Эсминец | 3400 |
| Фрегат & Эсминец | 900 |
| Фрегат | 2100 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец ?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Ф – количество страниц (в тысячах) по запросу Фрегат ;
Э – количество страниц (в тысячах) по запросу Эсминец ;
Х – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Фрегат и не упоминается Эсминец ;
У – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Эсминец и не упоминается Фрегат.
Построим диаграммы Эйлера-Венна для каждого запроса:
| Запрос | Диаграмма Эйлера-Венна | Количество страниц |
| Фрегат | Эсминец | Рис.12
|
3400 |
| Фрегат & Эсминец | Рис.13
|
900 |
| Фрегат | Рис.14 | 2100 |
| Эсминец | Рис.15 | ? |
Согласно диаграммам имеем:
Ответ: 2200.
6. Решение логических содержательных задач методом диаграмм Эйлера-Венна
В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 - и физический и химический.
Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?
Для решения данной задачи очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.
Самый большой круг – множество всех учеников класса. Внутри круга три пересекающихся множества: членов математического (М ), физического (Ф ), химического (Х ) кружков.
Пусть МФХ – множество ребят, каждый из которых посещает все три кружка. МФ¬Х – множество ребят, каждый из которых посещает математический и физический кружки и не посещает химический. ¬М¬ФХ - множество ребят, каждый из которых посещает химический кружок и не посещает физический и математический кружки.
Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
Известно, что все три кружка посещают 2 человека, следовательно, в область МФХ впишем число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и физический кружки и среди них уже есть 2 человека, посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем 6 человек (8-2). Аналогично определим количество учащихся в остальных множествах:
Просуммируем количество человек по всем областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из класса посещают кружки.
Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.
После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре - 11, в цирке 17 человек; и в кино, и в театре - 6; и в кино и в цирке - 10; и в театре и в цирке - 4.
Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Пусть х – количество ребят, которые побывали и в кино, и в театре, и в цирке.
Тогда можно построить следующую диаграмму и посчитать количество ребят в каждой области:
|
|
В кино и театре побывало 6 чел., значит,
только в кино и театре (6-х) чел. Аналогично, только в кино и цирке (10-х) чел. Только в театре и цирке (4-х) чел. В кино побывало 25 чел., значит, из них только в кино были 25 - (10-х) – (6-х) – х = (9+х). Аналогично, только в театре были (1+х) чел. Только в цирке были (3+х) чел. Не были в театре, кино и цирке – 2 чел. Значит, 36-2=34 чел. побывали на мероприятиях. С другой стороны можем просуммировать количество человек, которые были в театре, кино и цирке: (9+х)+(1+х)+(3+х)+(10-х)+(6-х)+(4-х)+х = 34 Отсюда следует, что только один человек побывал на всех трех мероприятиях. |
Таким образом, круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна) находят практическое применение при решении задач в формате ЕГЭ и ГИА и при решении содержательных логических задач.
Литература
Wikispaces was founded in 2005 and has since been used by educators, companies and individuals across the globe.
Unfortunately, the time has come where we have had to make the difficult business decision to end the Wikispaces service.
We first announced the site closure in January 2018, through a site-wide banner that appeared to all logged-in users and needed to be clicked on to dismiss
During the closure period a range of banners were shown to users, including a countdown banner in the final month. Additionally, the home page of Wikispaces.com became a blog, detailing the reasons for the closure. Private Label Site Administrators were contacted separately regarding the closure
| Wikispaces Tier | Closedown Date |
|---|---|
| Classroom and Free Wikis end of service | 31st July 2018 |
| Plus and Super Wikis end of service | 30th September 2018 |
| Private Label Wikis end of service | 31st January 2019 |
Why has Wikispaces closed?
Approximately 18 months ago, we completed a technical review of the infrastructure and software we used to serve Wikispaces users. As part of the review, it became apparent that the required investment to bring the infrastructure and code in line with modern standards was very substantial. We explored all possible options for keeping Wikispaces running but had to conclude that it was no longer viable to continue to run the service in the long term. So, sadly, we had to close the site - but we have been touched by the messages from users all over the world who began creating wikis with it and now running them on new platforms.
We would like to take this opportunity to thank you for your support over the years.
Чтобы лучше представить себе множество, можно использовать рисунок, называемый диаграммой Эйлера_Венна.Это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а с наружи -элементы, не пренадлежащие множеству.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Диаграмма Венна Знаки ∈ и ∉ 3 класс Математика Петерсон Л.Г.
Любое множество А можно изобразить графически в виде замкнутой линии. Считается, что элементы множества (А) расположены внутри этой линии, а все элементы, которые не принадлежат множеству (А), - снаружи. Такая схема называется диаграммой Венна. a 2 m Например, диаграмму множества В = { 2, m , } можно нарисовать так: В
Знаки ∈ и ∉ a 2 m Предложение «Число 2 принадлежит множеству В» записывают короче: 2 ∈ В. Знак ∈ читают: «принадлежит» Предложение «Буква а не принадлежит множеству В» также можно записать короче: а ∉ В. Знак ∉ читают: «не принадлежит» В
e 8 b A 4 На рисунке изображена диаграмма множества А. Какие элементы принадлежат множеству А, а какие ему не принадлежат? b … A e … A … A 8 … A 4 … A … A ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ Прочти ещё раз полученные записи.
Отметь элементы, d, 10 , 5 на диаграмме множества С, если известно, что: ∈ С ∉ С С d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ С d 10 5
Имеется множество М = {а, b, c, }. Какой знак поставить: ∈ или ∉ ? a … M … M c … M … M … M 8 … M ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉
D – множество двузначных чисел. Являются ли числа 26, 307, 8, 940, 15, 60 элементами множества D ? 26 … D 8 … D 15 … D 307 … D 940 … D 60 … D ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ Отметим эти числа на диаграмме. 26 307 8 940 15 60 Назовите самое маленькое и самое большое число множества D. D = { 10 , …, …, … 99}
А – множество бабочек, а В – множество роз. Как построить диаграммы множеств А и В? Сколько бабочек принадлежит множеству А? Сколько роз принадлежит множеству В? Сколько общих элементов у множеств А и В?
Задание на дом. Стр.12 №11, 12
Диаграмма Венна - это схема с пересекающимися кругами, которая показывает, как много общего имеют различные множества. Для построения диаграммы Венна выбирают несколько групп объектов и размещают их в отдельных кругах, при этом в область пересечения кругов попадают объекты, совмещающие в себе свойства данных множеств.
Приведем простейший пример. Допустим, у нас есть две группы объектов - световые устройства (обозначим их в первом круге) и энергосберегающие технологии (обозначим их во втором круге). В данном случае область пересечения кругов будет охватывать объекты, которые можно отнести и к первой, и ко второй группе, то есть энергосберегающие световые устройства.
Диаграммы Венна с успехом применяются в математике, логике, менеджменте и других прикладных областях для сопоставления каких-либо множеств и установления взаимосвязей между ними.
Единственный минус таких диаграмм - они могут быть использованы лишь для определения общих качеств рассматриваемых объектов и не дают информации о количестве объектов.
К диаграммам Венна прибегают для сравнения исходных данных в двух случаях:
Благодаря визуальной форме подачи информации и простоте расшифровки диаграммы Венна значительно облегчают процесс осмысления и анализа сравниваемых объектов. Именно поэтому они нашли широкое применение при проведении презентаций.
Рисование диаграммы Венна - это совсем не сложный процесс, который включает всего четыре этапа:
Равенство множеств.
Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А = В .
Если множества не равны, то пишут А ¹ В .
Запись равенства двух множеств А = В эквивалентна записи А Ì В , или В Ì А .
Например, множество решений уравнения x 2 - 5x + 6 = 0содержит те же самые элементы (числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны. (Простым числом называется натуральное число, которое делится без остатка только на 1 и на само себя; при этом 1 - простым числом не является.)
Пересечение (умножение) множеств.
Множество D , состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В , называется пересечением множеств А и В и обозначается D = А В.
Рассмотрим два множества: X = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4}. Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3} содер-жит все общие для множеств Х и Y элементы. Таким образом, множество {1, 3} является пересечением рас-смотренных множеств Х и Y :
{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.
Для отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ пересечением, т. е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0; 1] (рис. 1).
Рис. 1. Пересечением отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ является промежуток ]0; 1]
Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.
Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть мно-жество учеников восьмых клас-сов, являющихся членами хими-ческого кружка.
Пересечение множеств (и другие операции - см. ниже) хорошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Эйлер предложил для этого использовать круги. Изображение пересечения (выделено серым) множеств А и В при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 2.
Рис. 3. Диаграмма Эйлера-Венна пересечения (выделено серым) множеств А и В , являющихся подмножествами некоторого универсума, изображённого в виде прямоугольника
Если множества А и В не имеют общих элементов, то гово-рят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение - пустое множество, и пишут А В = Æ.
Например, пересечение множества чётных чисел с множеством нечётных чисел пусто.
Пустым является и пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и -1; 0] и }
